「仲」は「季節の中ごろの１ヶ月」というニュアンス
「中」は「真ん中」というニュアンス

秋で例にとれば、一般に「仲秋」は「秋の半ばの１ヶ月、すなわち８月」をさし、「中秋」は「秋の真ん中で、特に８月の真ん中１５日」をさすという感じです。「名月」といえば、「満月（望）」なので、話しの意味合いからは、「中秋の名月」のほうが秋のお月見には近い感じのようですが、一般的には仲秋の名月のようですね。但し、どちらが正しくどちらかが間違っているといった類の話ではありません。
ここでは「仲秋」を使用します。

仲秋の名月は旧暦の8月15日の月をさします。そもそも古来「名月」というだけで仲秋の名月を意味します。ところで、実はこの日は必ずしも満月になるわけではありません。むしろ満月でないことのほうが多いくらいだそうです。全般的には旧暦8月15日「仲秋の名月」は満月より早く来る傾向があります。
旧暦の１日は「新月（朔）」の日からはじまるので１５日は新月の１４日後となります。ところが、新月から１４日後に必ず「満月（望）」になるわけではないのです。月の軌道や地球の軌道が楕円の関係で、新月から満月になるまでにかかる日数には２日ほどの幅が発生します。平均で約１４．７６日ということですから、満月は１５日よりやや遅れる傾向があるわけですね。他にも旧暦の１日の決め方が幅をもっていること（「新月（朔）の瞬間が含まれる日」）も関係してきます。とはいえ、この「曖昧さ」、わるくないです。生活に関わる「時」のリズムには案外あっているんじゃないでしょうか。